树和二叉树简介

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一、树

1、什么是树?

树状图是一种数据结构,它是由n(n=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

每个节点有零个或多个子节点;没有父节点的节点称为根节点;每一个非根节点有且只有一个父节点;除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;

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树(tree)是包含n(n0)个结点的有穷集,其中:

(1)每个元素称为结点(node);

(2)有一个特定的结点被称为根结点或树根(root)。

(3)除根结点之外的其余数据元素被分为m(m≥0)个互不相交的集合T1,T2,……Tm-1,其中每一个集合Ti(1=i=m)本身也是一棵树,被称作原树的子树(subtree)。

2、相关术语

节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;

叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点;

非终端节点或分支节点:度不为0的节点;

双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;

孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;

兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;

树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;

节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;

树的高度或深度:树中节点的最大层次;

堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;

节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;

子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

森林:由m(m=0)棵互不相交的树的集合称为森林;

二、二叉树

1、什么是二叉树?

二叉树,就是度不差过2的树(节点最多有两个叉)

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三、两种特殊的二叉树

1、满二叉树

一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。

2、完全二叉树

叶节点只能出现在最下层和次下层,并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

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满二叉树一定是完全二叉树,但是完全二叉树不一定是满二叉树

四、二叉树的存储方式

1、链式存储方式

a、二叉树的链式存储:将二叉树的节点定义为一个对象,节点之间通过类似链表的链接方式来连接。

b、节点定义


class BiTreeNode:
    def __init__(self,data):  #data就是传进去的节点的值
        self.data = data
        self.lchild = None
        self.rchild = None

c、二叉树的遍历:

I 、先(前)序遍历:访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前

   具体操作:若二叉树非空,则依次执行如下操作:

  • ⑴ 访问根结点;
  • ⑵ 遍历左子树;
  • ⑶ 遍历右子树。
  • II、中序遍历:访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。

         具体操作: 若二叉树非空,则依次执行如下操作:

  • ⑴遍历左子树;
  • ⑵访问根结点;
  • ⑶遍历右子树。
  • III、后序遍历:访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

          若二叉树非空,则依次执行如下操作:

  • ⑴遍历左子树;
  • ⑵遍历右子树;
  • ⑶访问根结点。
  • IV、层次遍历

    
    from collections import deque   #双向队列
    from queue import Queue    #单向队列
    
    # import queue
    # q = queue.Queue()
    # q.put('ggg')
    # q.get()
    class BiTreeNode:
        def __init__(self,data):
            self.data = data
            self.lchild = None
            self.rchild = None
    
        @classmethod
        def pre_order(self,root):
            '''前序遍历(根左右)'''
            if root: #如果有根节点
                print(root.data,end='')
                self.pre_order(root.lchild)
                self.pre_order(root.rchild)
    
        @classmethod
        def in_order(self,root):
            '''中序遍历(左根右)'''
            if root:
                self.in_order(root.lchild)
                print(root.data,end='')
                self.in_order(root.rchild)
    
        @classmethod
        def out_order(self, root):
            '''后序遍历(左右根)'''
            if root:
                self.out_order(root.lchild)
                self.out_order(root.rchild)
                print(root.data, end='')
    
        @classmethod
        def level_order(self,root):
            '''层次遍历(第一层,第二层,第三层...借助队列来实现)'''
            queue = deque()
            queue.append(root)
            while len(queue)  0:
                node = queue.popleft()
                print(node.data,end='')
                if node.lchild:
                    queue.append(node.lchild)
                if node.rchild:
                    queue.append(node.rchild)
    
    #创建二叉树
    a = BiTreeNode("A")
    b = BiTreeNode("B")
    c = BiTreeNode("C")
    d = BiTreeNode("D")
    e = BiTreeNode("E")
    f = BiTreeNode("F")
    g = BiTreeNode("G")
    e.lchild = a
    e.rchild = g
    a.rchild = c
    c.lchild = b
    c.rchild = d
    g.rchild = f
    root = e
    
    #查看前序遍历的结果
    BiTreeNode.pre_order(root)   #EACBDGF
    print('')
    BiTreeNode.in_order(root)    #ABCDEGF
    print('')
    BiTreeNode.out_order(root)  #BDCAFGE
    print('')
    BiTreeNode.level_order(root)  #EAGCFBD
    

    2、顺序存储方式

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    如上图二叉树标出了元素所对应的索引,那么可以有一下结论

    1、父节点和左孩子节点的编号下标有什么关系?

    如果已知父亲节点为i,那么他的左孩子节点为2i+1

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    2、父节点和右孩子节点的编号下标有什么关系?

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    3、反过来知道孩子找父亲

    (n-1)/2=i  # 左孩子求父节点

    (n-2)/2=i  # 右孩子求父节点

    五、二叉搜索树

    1、定义

    二叉搜索树是一棵二叉树且满足性质:设X是二叉树的一个节点。如果Y是X左子树的一个节点,那么Y.key =X.key;

    如果Y是X右子树的一个节点,那么Y.key= X.key  (X.key代表X节点对应的值)

    通俗的说也就是 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; 它的左、右子树也分别为二叉搜索树。

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    2、原理

    二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似,通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列,一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列,构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点,在进行插入操作时,不必移动其它结点,只需改动某个结点的指针,由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高,O(log(n)).

    3、二叉搜索树的创建

    可参考链接:https://visualgo.net/en/bst

    4、二叉搜索树存在的问题

    存在的问题:当插入的是有序的时候,假如插入的数据特别多,找是能找到,但是是很花费时间的。

    可以有以下解决办法:

      1、随机化的二叉搜索树(打乱顺序插入)

       2、AVL树

    查找方法有:二分查找、二叉搜索树、哈希查找、顺序查找、斐波那契查找

    六、AVL树—扩展(了解)

    1、AVL树:AVL树是一棵自平衡的二叉搜索树

    2、AVL树具有以下性质:  

  • 根的左右子树的高度只差的绝对值不能超过1
  • 根的左右子树都是平衡二叉树
  • 3、AVL的实现方式:旋转

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    七、B树

    1、B树:B树是一棵自平衡的多路搜索树。常用于数据库的索引

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    八、其他

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